🌂 Y Y1 Y2 Y1 X X1 X2 X1 In my opinion it is obvious. I recommend to you to look in google.com

Findstep-by-step Linear algebra solutions and your answer to the following textbook question: Prove that (x1, y1), (x2, y2) , and (x3, y3) are collinear points if and only if [x1 y1 1, x2 y2 1, x3 y3 1] = 0.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA COMPUTAÇÃO GRÁFICA DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS NO PLANO Sejam os ponto P1 x1, y1 e P2 x2, y2, a distância "d" entre P1 e P2 pode ser calculada por EQUAÇÃO DA RETA Dados os pontos P1 x1, y1 e P2 x2, y2 as principais formas da equação da reta suporte do segmento que liga P1 e P2 são as seguinte Forma explícita Forma Implícita Forma Implícita A = Y1 - Y2 B = X2 - X1 C = X1*Y2 - X2*Y1 Forma paramétrica A forma paramétrica da reta baseia-se no fato de que qualquer ponto sobre o segmento de reta que liga P1 e P2 pode ser obtido por uma ponderaçãomédia ponderada dos pontos P1 e P2. Na qual o peso do ponto Pi i=1,2 é tanto maior quanto mais próximo se está dele. Tomando, por convenção, um parâmetro "t" com valor 0 no extremo correspondente a P1 e com valor 1 no extremo correspondente a P2, é possível chegar ao diagrama abaixo P2 . t = 1 . P1 t = 0 A partir da observação do desenho acima é possível esquematizar a variação dos pesos de P1 e de P2 através dos seguintes gráficos ^ Variação do Peso de P1 ^ Variação do Peso de P2 + + ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ +-+-> +-+-> 0 1 t 0 1 t Dos quais se conclui que Peso de P1 = 1-t Peso de P2 = t Fazendo-se a média ponderada de P1 e P2 tem-se +-+ ¦ ¦ ¦ 1-t * P1 + t * P2 ¦ ¦ P = - ¦ ¦ 1-t + t ¦ ¦ ¦ +-+ +-+ ¦ ¦ ¦ P = P1 * 1-t + P2 * t ¦ ¦ ¦ +-+ ou +-+ ¦ ¦ ¦ P = P1 + P2 - P1 * t ¦ ¦ ¦ +-+ onde, o parâmetro "t" varia entre 0 e 1. O que equivale a +-+ ¦ ¦ ¦ x = x1 * 1-t + x2 * t ¦ ¦ ¦ ¦ y = y1 * 1-t + y2 * t ¦ ¦ ¦ +-+ CRIAÇÃO DE VETORES Um vetor V pode ser definido como um segmento de reta orientado. Para calcular as componentes de um vetor com inicio no ponto A e final no ponto B faz-se A xa, ya B xb, yb V = B - A V = xb-xa, yb-ya B . . A MþDULO DE UM VETOR O módulo de um vetor V1x1, y1 fornece seu tamanho. Representa-se "módulo" por duas barras verticais em torno do nome do vetor. O cálculo do módulo de V1x1,y1 é dado por +-+ ¦ ¦ ¦ - ¦ ¦ / ¦ ¦ V1 = \/ x12 + y12 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ +-+ PRODUTO ESCALAR O produto escalar entre dois vetores V1 e V2 é dado por V1 x1, y1 V2 x2, y2 +-+ ¦ ¦ ¦ Prod. Esc. = x1*x2 + y1*y2 ¦ ¦ ¦ ¦ ou ¦ ¦ ¦ ¦ Prod. Esc = V1 * V2 * cosalfa ¦ ¦ ¦ +-+ onde alfa = ângulo entre os dois vetores PRODUTO VETORIAL O produto vetorial entre dois vetores V1 e V2 é dado por V1 x1, y1, z1 V2 x2, y2, z2 i j k Prod. Vetorial = x1 y1 z1 x2 y2 z2 i = y1 * z2 - z1 * y2 j = z1 * x2 - x1 * z2 k = x1 * y2 - y1 * x2 O produto vetorial entre V1 e V2, nesta ordem, define um vetor perpendicular a V1 e V2, conforme a figura Se a ordem do produto for invertida o vetor resultante terá seu sentido invertidofigura [ Figura - Vetor Normal ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS D A D C B Onde, A xa, ya B xb, yb C xc, yc D xd, yd +-+ ¦ ¦ ¦ V1 . V2 ¦ ¦ ANG = ACOS - ¦ ¦ V1*V2 ¦ ¦ ¦ +-+ Onde V1 = B - A ->> xb-xa, yb-ya V2 = D - C ->> xd-xc, yd-yc V1 . V2 -> produto escalar de V1 por V2 =>> x1*x2 + y1*y2 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Dado um segmento de reta R com extremidade nos pontos Axa, ya e Bxb, yb e um ponto P1 de coordenadas x1, y1 a distância entre a P1 e R é definida pelo comprimento do segmento de reta S, perpendicular a R e com extremos em P1 e no ponto de intersecção de R com S. .B .P1 . A +-+ ¦ ¦ ¦ Ax1 + By1 + C ¦ ¦d = - ¦ ¦ A*A + B*B ^ 1/2 ¦ ¦ ¦ +-+ onde A, B e C são os coeficientes da equação geral da reta R, conforme o item INTERSECÇÃO ENTRE SEGMENTOS DE RETA Dado o segmento de reta R1 de extremos nos pontos Kxk, yk e Lxl, yl e o segmento de reta R2 com extremos em Mxm, ym e Nxn yn. Dadas suas equaç¨es paramétricas R1 x = xk + xl - xk * s y = yk + yl - yk * s R2 x = xm + xn - xm * t y = ym + yn - ym * t Calcula-se "d" por +-+ ¦ ¦ ¦ d = xn - xm * yl - ky - yn - ym * xl - xk ¦ ¦ ¦ +-+ se "d" for igual a zero então as linhas são paralelas. Caso contrário, o valor do parâmetro "s" na intersecção de R1 com R2 é dado por +-+ ¦ ¦ ¦ xn - xm * ym - yk - yn - ym * xm - xk ¦ ¦ s = - ¦ ¦ d ¦ ¦ ¦ +-+ e o valor do parâmetro "t" no mesmo ponto por +-+ ¦ ¦ ¦ xl - xk * ym - yk - yl - yk * xm - xk ¦ ¦ t = - ¦ ¦ d ¦ ¦ ¦ +-+ CONVEXIDADE DE POLµGONOS Sejam os vértices V1, V2, ..., e Vn, do polígono P, dispostos em sentido horário. Para determinar se P é côncavo ou convexo, basta fazer Calcular os produtos vetoriais V2-V1 X V3-V1 = 0, 0, z1 V3-V2 X V4-V2 = 0, 0, z2 ............................ ............................ VN-Vn-1 X V1-Vn-1 = 0, 0, zn Onde o operador "X" indica o produto vetorial entre dois vetores. O resultado de todos os produtos vetoriais da lista acima terão a forma 0, 0, z. Se em algum destes o valor de Z for NEGATIVO então o polígono P é CÞNCAVO. Senão, é convexo. Na figura pode-se observar um exemplo de polígono côncavo OBS. A coordenada Z dos vértices do polígono deve ser 0zero. [ Figura - Polígono Côncavo INCLUSÚO DE PONTO EM POLµGONO CONVEXO Sejam os vértices V1, V2, ..., e Vn, do polígono P, dispostos em sentido horário. Para determinar se o ponto Q está dentro ou fora de P basta fazer Calcular os produtos vetoriais V2-V1 X Q-V1 = 0, 0, z1 V3-V2 X Q-V2 = 0, 0, z2 V4-V3 X Q-V3 = 0, 0, z3 ............................ ............................ V1-Vn X Q-Vn = 0, 0, zn Onde o operador "X" indica o produto vetorial entre dois vetores. O resultado de todos os produtos vetoriais da lista acima terão a forma 0, 0, z. Se em algum destes o valor de Z for NEGATIVO então o ponto está FORA do polígono P. Se em algum dos caso Z for 0 então o ponto Q está sobre uma das arestas de P. OBS. A coordenada Z dos vértices do polígono e do ponto P deve ser 0zero. INCLUSÚO DE PONTO EM POLµGONO SIMPLES QUALQUER Sejam os vértices V1, V2, ..., e Vn, do polígono P, dispostos em sentido horário. Para determinar se o ponto Q está dentro ou fora de P faz-se acria-se um segmento de reta horizontal iniciando em Q e terminando em R, um ponto à esquerda de Q, com a coordenada "y" igual a de Q; bdetermina-se qual a aresta do polígono que cruza PQ no ponto mais próximo de Q. Suponha-se que esta aresta tenha início em P1x1,y1 e fim em P2x2,y2; ccalcula-se o produto vetorial P2-P1 X Q-P1 dse a componente Z do resultado do produto vetorial recém calculado for POSITIVA o ponto está DENTRO; se for NEGATIVA, está fora. Se for 0 zero, Q está sobre a aresta P2-P1. OBS Caso nenhuma aresta do polígono cruze a linha QR então o ponto está fora do polígono. [ Figura - Inclusão de Pontos

7sknfyl8r4.pages.dev/408

7sknfyl8r4.pages.dev/589

7sknfyl8r4.pages.dev/436

7sknfyl8r4.pages.dev/733

7sknfyl8r4.pages.dev/806

7sknfyl8r4.pages.dev/568

7sknfyl8r4.pages.dev/812

7sknfyl8r4.pages.dev/52

7sknfyl8r4.pages.dev/589

7sknfyl8r4.pages.dev/804

7sknfyl8r4.pages.dev/347

7sknfyl8r4.pages.dev/810

7sknfyl8r4.pages.dev/763

7sknfyl8r4.pages.dev/332

7sknfyl8r4.pages.dev/361

y y1 y2 y1 x x1 x2 x1